Question

某少数民族的刺绣有着悠久的历史，右图（1）、（2）、（3）、（4）为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮，现按同样的规律刺绣（小正方形的摆放规律相同），设第n个图形包含f（n）个小正方形．
（1）求出f（5）；
（2）利用合情推理的“归纳推理思想”归纳出f（n+1）与f（n）的关系式，并根据你得到的关系式求f（n）的表达式；
（3）求+++…+的值．

Answer

（1）先分别观察给出正方体的个数为：1，1+4，1+4+8，…，即可求出f（5）；
（2）总结一般性的规律，可知f（n+1）-f（n）=4n，利用叠加法，可求f（n）的表达式；
（3）根据通项特点，利用裂项法求和，即可得到解决．
【解析】
（1）∵f（1）=1，f（2）=1+4=5，f（3）=1+4+8=13，f（4）=1+4+8+12=25，
∴f（5）=1+4+8+12+16=41．
（2）∵f（2）-f（1）=4=4×1，
f（3）-f（2）=8=4×2，
f（4）-f（3）=12=4×3，
f（5）-f（4）=16=4×4，
由上式规律得出f（n+1）-f（n）=4n．
∴f（n）-f（n-1）=4（n-1），
f（n-1）-f（n-2）=4•（n-2），
f（n-2）-f（n-3）=4•（n-3），
…
f（2）-f（1）=4×1，
∴f（n）-f（1）=4[（n-1）+（n-2）+…+2+1]
=2（n-1）•n，
∴f（n）=2n2-2n+1．
（3）当n≥2时，==（-），
∴+++…+=1+（1-+-+…+-）=1+（1-）=-．