Question

设函数f（x）=2cos²x+sin2x+a（a∈R）．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）若f（x）=0在[0，上有两个不同的根，求a的取值范围．

Answer

（1）利用三角函数间的关系式可整理得到f（x）=sin（2x+）+1+a，利用正弦函数的性质可求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）利用y=-1-a与y=sin（2x+），x∈[0，有两个不同的交点即可求得a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=2cos2x+sin2x+a
=1+cos2x+sin2x+a
=sin（2x+）+1+a
∴函数f（x）的最小正周期T==π；
由2kπ-≤2x+≤2kπ+，得：
kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z，
（2）∵x∈[0，，
∴≤2x+≤，
∴-≤sin（2x+）≤1，
∴-1≤sin（2x+）≤；
∵f（x）=0在[0，上有两个不同的根，
∴y=-1-a与y=sin（2x+），x∈[0，有两个不同的交点，
∴1≤-1-a＜，
∴-＜a+1≤1，
∴--1＜a≤0．