Question

已知定义在区间[-2，t]（t＞-2）上的函数f（x）=（x²-3x+3）e^x．
（Ⅰ）当t＞1时，求函数y=f（x）的单调区间；
（Ⅱ）设m=f（-2），n=f（t）．试证明：m＜n；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+（x-2）e^x，当x＞1时试判断方程g（x）=x根的个数．

Answer

（Ⅰ）求导函数，由导数的正负，可确定函数的单调性；
（Ⅱ）f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e，根据f（-2）=13e-2＜e，可得f（x）仅在x=-2处取得[-2，t]上的最小值f（-2），从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），故问题得证；
（Ⅲ）设g（x）=f（x）+（x-2）ex=（x-1）2ex，当x＞1时判断方程g（x）=x根的个数等价于（x-1）2ex=x当x＞1时根的个数，构造函数，利用导数知识求解即可．
（Ⅰ）【解析】
因为f′（x）=（x2-3x+3）•ex+（2x-3）•ex=x（x-1）•ex．        
当t＞1时，由f′（x）＞0，可得t＞x＞1或-2＜x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1
所以f（x）在（-2，0），（1，t）上递增，在（0，1）上递减．            
（Ⅱ）证明：由f′（x）＞0，可得x＞1或x＜0；由f′（x）＜0，可得0＜x＜1
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得极小值f（1）=e．
又∵f（-2）=13e-2＜e，所以f（x）仅在x=-2处取得[-2，t]上的最小值f（-2）
从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即m＜n．
（Ⅲ）【解析】
设g（x）=f（x）+（x-2）ex=（x-1）2ex，当x＞1时判断方程g（x）=x根的个数等价于（x-1）2ex=x当x＞1时根的个数
设h（x）=（x-1）2ex-x（x＞1），则h′（x）=（x2-1）ex-1，
再设k（x）（x2-1）ex-1（x＞1），则k′（x）=（x2+2x-1）ex，
当x＞1时，k′（x）＞1，即k（x）在（1，+∞）单调递增
∵k（1）=-1＜0，k（2）=3e2-1＞0
∴在（1，2）上存在唯一x，使k（x）=0，即存在唯一x∈（1，2），使h′（x）=0
函数h（x）在（1，x）上，h′（x）＜0，函数单调减，在（x，+∞）上，h′（x）＞0，函数单调增，
∴h（x）min=h（x）＜h（1）=-1＜0
∵h（2）=e2-2＞0
y=h（x）的大致图象如图，
由此可得y=h（x）在（1，+∞）上只有一个零点，即g（x）=x，x＞1时只有1个实根．