Question

方程x²+x-1=x的解集为A（x∈R）则A中所有元素的平方和等于（ ）
A．0
B．l
C．2
D．4

Answer

先观察、变形、估测方程的实数根，然后通过分类讨论加以证明即可．
【解析】
将方程x2+x-l=x变为，可知x=±1，0时满足方程，
∴x=±1，0是方程的解．
下面证明此方程的解只有±1，0．
证明：①当x＞1时，把方程变为，
∵x＞1，∴，x2-1＞0，ex-1＞e-1＞0，故左边＞0，即方程没有大于1的解；
②当x＜-1时，把方程变为1-=ex，
∵x＜-1，∴，x2-1＞0，故左边＞1，而右边=ex，∴左边≠右边，即方程没有小于-1的解；
③当0＜x＜1时，把方程变为，
∵0＜x＜1，∴，x2-1＜0，ex＞1，∴左边＞0，即方程没有大于0而小于1的解；
④当-1＜x＜0时，把方程变为1-=ex，
∵-1＜x＜0，∴，x2-1＜0，ex＜1，∴左边＞1，右边＜1，即方程没有大-1而小于0的解．
综上可知：此方程只有±1，0三个实数根．
∴A={-1，1，0}．
∴则A中所有元素的平方和=12+（-1）2+0=2．
故答案为C．