Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．
（1）证明：CD⊥平面POC；
（2）求二面角C-PD-O的余弦值的大小．

Answer

（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；
（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O-PD-C的余弦值；
证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，
∴PO⊥AB
∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，
∴PO⊥底面ABCD
∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD
在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2
在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10
在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD-BC）2=8
∴OC2+CD2=OD2，
∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，
∴OC⊥CD
∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线
∴CD⊥平面POC…（6分）
【解析】
（2）如图建立空间直角坐标系O-xyz，则P（0，0，2），D（-1，3，0），C（1，1，0）
∴=（0，0，2），=（-1，3，0），=（-1，-1，2），=（-2，2，0）
假设平面OPD的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD的法向量为=（a，b，c），则
由 可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），
由可得，令a=2，得b=2，c=，
即 =（2，2，）
∴cos＜，＞===
故二面角O-PD-C的余弦值为．…（12分）