Question

设数列{a_n}、{b_n}满足a₁=4，a₂=，a_n+1=，b_n=．
（1）证明：a_n＞2，0＜b_n＜2（n∈N^*）；
（2）设c_n=log₃，求数列{c_n}的通项公式；
（3）设数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，数列{a_nb_n}的前n项和为{P_n}，求证：S_n+T_n＜P_n+．（n≥2）

Answer

（1），bn+1=，两式相乘得anbn=an+1bn+1，由此能够证明an＞2，0＜bn＜2（n∈N*）．
（2）由，得=2，由此能够求出数列{cn}的通项公式．
（3）由，知=2（1+）=2+，令，数列{dn}的前n项和为Dn，只要证明，（n≥2），就能得到Sn+Tn＜Pn+．（n≥2）
（本题满分16分）
（1）∵，bn+1=，
两式相乘得anbn=an+1bn+1，
∴{anbn}为常数列，∴anbn=a1b1=4；（2分）
∴，
∴，
∴0＜bn＜2；
（若an=2，则an+1=2，从而可得{an}为常数列与a1=4矛盾）；（4分）
（2）∵，
∴
=
=
=2，
∴=2，
∴{cn}为等比数列，
∵c1=1，∴．（8分）
（3）由，知=2（1+）=2+，
令，数列{dn}的前n项和为Dn，很显然只要证明，（n≥2），
∵n≥2，∴．
∵==≤，
∴dn=≤≤≤…≤d2，
所以Dn=d1+（d2+d3+…+dn）≤
≤2+=2+=，
所以．（14分）
又anbn=4，bn＜2，故pn=4n，且Tn＜2n，
所以=4n+=，n≥2．（16分）