Question

已知平面内一动点P到F（1，0）的距离比点P到y轴的距离大1．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A，B两点，交直线x=-1于M点，且，，求λ₁+λ₂的值．

Answer

（1）由题意知动点P到F（1，0）的距离与直线x=-1的距离相等，知动点P在以F（1，0）为焦点，以直线x=-1为准线的抛物线上，由此能求出轨迹C的方程．
（2）由题设知直线的斜线存在，设直线AB的方程为：y=k（x-1），设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，由此能求出λ1+λ2的值．
【解析】
（1）由题意知动点P到F（1，0）的距离与直线x=-1的距离相等，
由抛物线定义知，动点P在以F（1，0）为焦点，
以直线x=-1为准线的抛物线上，
方程为y2=4x．
（2）由题设知直线的斜线存在，设直线AB的方程为：y=k（x-1），
设A（x1，y1），B（x2，y2），
由，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，
∵，x1x2=1，
由，得k2x2-2（k2+2）x+k2=0，
∴，x1x2=1，
由=，得，
同理，
∴．