Question

设m、n，是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题，
①若m⊥n，m⊥α，n⊊α，则n∥α；    
②若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β；
③若m⊥β，α⊥β，则m∥α；          
④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
其中正确命题的序号是    （把所有正确命题的序号都写上）．

Answer

根据同垂直于一条直线的直线和平面的位置关系，得到①正确；根据直线与平面垂直的定义与性质，得到②不正确；根据同垂直于一个平面的直线和平面的位置关系，得到③不正确；根据线面垂直和面面垂直的判定与性质，得到④正确．由此得到正确答案．
【解析】
对于①，若m⊥n，m⊥α，即n、α同时与直线m垂直，
可得n⊂α或n∥α，但是已知条件中有n⊊α，所以n∥α成立，故①正确；
对于②，若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，n可在与直线m垂直的平面γ内转动，
必定存在直线m的位置，使它平面α、β都不垂直，故“n⊥α或n⊥β”不成立，故②错误；
对于③，若m⊥β，α⊥β，即m、α同时与平面β垂直，则m∥α或m⊂α，不一定有m∥α，故③错误；
对于④，若m⊥α，则直线m是平面α的法线，同理n⊥β，直线n是平面β的法线，
而m⊥n，说明平面α的法线与β的法线互相垂直，因此“α⊥β”成立，故④正确．
故答案为①④