Question

如图，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁，AA₁=AB=2a，D、E分别为CC₁、A₁B的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（Ⅱ）求证：AE⊥BD；
（Ⅲ）求三棱锥D-A₁BA的体积．

Answer

（Ⅰ）利用三角形的中位线定理、平行四边形的判定定理和性质定理及线面平行的判定定理即可得出；
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（Ⅲ）利用三棱锥的体积计算公式即可得出．
证明：（Ⅰ）如图所示：取AB的中点F，连接EF、CF、ED．
又∵BE=EA1，∴．
由已知得，∴．
∴四边形EFCD为平行四边形，
∴ED∥FC．
又∵ED⊄平面ABC，CF⊂平面ABC．
∴ED∥平面ABC．
（Ⅱ）由正三棱柱ABC-A1B1C1，可得A1A⊥底面ABC，∴A1A⊥CF．
由F是正△ABC的边AB的中点，∴CF⊥AB．
又A1A∩AB=A，∴CF⊥侧面ABB1A1，
∵ED∥FC，∴DE⊥侧面ABB1A1．
∴DE⊥AE．
在等腰△ABA1中，由AB=AA1，BE=EA1．
∴AE⊥A1B．
又∵A1B∩DE=E．
∴AE⊥平面A1BD．
∴AE⊥BD．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知：DE⊥侧面ABB1A1，且．
∴===．