Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n-3n（n∈N^*）
（1）若数列{a_n+c}成等比数列，求常数c值；
（2）求数列{a_n}的通项公式a_n
（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）利用递推公式可得an=sn-sn-1，利用等比数列的定义可求c
（2）由递推公式an=sn-sn-1（n≥2），a1=s1求解
（3）假设存在as，ap，ar成等差数列，则2ap=as+ar，结合（2）中的通项公式进行推理．
【解析】
（1）由Sn=2an-3n及Sn+1=2an+1-3（n+1）得an+1=2an+3
∴，∴c=3

（2）∵a1=S1=2a1-3，∴a1=3，an+3=（a1+3）•2n-1∴an=3.2n-3（n∈N*）
（3）设存在S，P，r∈N*，且s＜p＜r使as，ap，ar成等差数列∴2ap=as+ar
即2（3•2p-3）=（3•2s-3）+（3•2r-3）∴2p+1=2s+2r
∴2p-s+1=1+2r-s∵s，p，r∈N*且s＜p＜r
∴2p-s+1、2r-s为偶数
1+2r-s为奇数矛盾，不存在满足条件的三项