Question

过双曲线的右焦点F作实轴所在直线的垂线，交双曲线于A，B两点，设双曲线的左顶点M，若点M在以AB为直径的圆的内部，则此双曲线的离心率e的取值范围为（ ）
A．
B．
C．（2，+∞）
D．（1，2）

Answer

设双曲线方程为-=1，作出图形如图，由左顶点M在以AB为直径的圆的内部，得|MF|＜|AF|，将其转化为关于a、b、c的式子，再结合平方关系和离心率的公式，化简整理得e2-e-2＞0，解之即可得到此双曲线的离心率e的取值范围．
【解析】
设双曲线方程为-=1，a＞b＞0
则直线AB方程为：x=c，其中c=
因此，设A（c，y），B（c，-y），
∴-=1，解之得y=，得|AF|=，
∵双曲线的左焦点M（-a，0）在以AB为直径的圆内部
∴|MF|＜|AF|，即a+c＜，
将b2=c2-a2，并化简整理，得2a2+ac-c2＜0
两边都除以a2，整理得e2-e-2＞0，解之得e＞2（舍负）
故选：C