Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=2B，．
（Ⅰ）求cosA及sinC的值；
（Ⅱ）若b=2，求△ABC的面积．

Answer

（Ⅰ）根据cosA=cos2B=1-2sin2B，及，可求cosA及sinC的值；
（Ⅱ）先计算sinA的值，再利用正弦定理，确定a的值，过点C作CD⊥AB于D，利用c=acosB+bcosA，即可求得三角形的面积．
【解析】
（Ⅰ）因为A=2B，所以cosA=cos2B=1-2sin2B．…（2分）
因为，所以cosA=1-=．…（3分）
由题意可知，B，所以cosB=．…（5分）
所以sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．…（8分）
（Ⅱ）sinA=sin2B=2sinBcosB=
因为，b=2，所以，所以a=．…（10分）
由cosA=可知，A．
过点C作CD⊥AB于D，所以c=acosB+bcosA=．…（12分）
所以．…（13分）