Question

设函数f（x）=|x-4|+|x-a|（a＞1）．
（1）若f（x）的最小值为3，求a的值；
（2）在（1）的条件下，求使得不等式f（x）≤5成立的x的取值集合．

Answer

（1）由|x-4|+|x-a|≥|a-4|结合题意可得|a-4|=3，由此求得a的值．
（2）分当x≤4时、当4＜x＜7时、当x≥7时，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．
【解析】
（1）因为|x-4|+|x-a|≥|x-4-（x-a）|=|a-4|，…（3分）
所以|a-4|=3，即 a=7，或 a=1．    …（5分）
由a＞1知 a=7．…（6分）
（2）当x≤4时，不等式化为-2x+11≤5解得：3≤x≤4．…（7分）
当4＜x＜7时，不等式化为  3≤5，恒成立，所以：4＜x＜7．…（8分）
当x≥7时，不等式化为  2x-11≤5，解得：7≤x≤8．…（9分）
综上，不等式f（x）≤5 的解集为 {x|3≤x≤8}．     …（10分）