Question

对于集合M，定义函数f_M（x）=，对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|f_M（x）•f_N（x）=-1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
（Ⅰ）写出f_A（1）和f_B（1）的值，并用列举法写出集合A△B；
（Ⅱ）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数．
（ⅰ）求证：当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X；
（ⅱ）求Card（X△A）+Card（X△B）的最小值．

Answer

（Ⅰ）直接利用新定义写出fA（1）和fB（1）的值，并用列举法写出集合A△B；
（Ⅱ）设Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，X=W，（ⅰ）利用反证法证明2∈X成立；
（ⅱ）同（ⅰ）可得：4∈X且8∈X．通过a∈X且a∉A∪B，以及a∈A∪B且a∉A∩B，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．
（Ⅰ）【解析】
fA（1）=1，fB（1）=-1，
对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|fM（x）•fN（x）=-1}．
A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．
∴A△B={1，6，10，16}．…（3分）
（Ⅱ）设当Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值时，X=W．
（ⅰ）证明：假设2∉W，令Y=W∪{2}．
那么 Card（Y△A）+Card（Y△B）
=Card（W△A）-1+Card（W△B）-1
＜Card（W△A）+Card（W△B）．这与题设矛盾．
所以 2∈X，即当Card（X△A）+Card（X△B）取得最小值时，2∈X．…（7分）
（ⅱ）同（ⅰ）可得：4∈X且8∈X．
若存在a∈X且a∉A∪B，则令Z=CU{a}．
那么Card（Z△A）+Card（Z△B）
=Card（X△A）-1+Card（X△B）-1
＜Card（X△A）+Card（X△B）．
所以 集合W中的元素只能来自A∪B．
若a∈A∪B且a∉A∩B，同上分析可知：集合X中是否包含元素a，Card（X△A）+Card（X△B）的值不变．
综上可知，当W为集合{1，6，10，16}的子集与集合{2，4，8}的并集时，Card（X△A）+Card（X△B）取到最小值4．