Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧面ABB₁A₁，ACC₁A₁均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，点D₁、D分别是棱B₁C₁、BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁D₁⊥平面BB₁C₁C；
（Ⅱ）求证：AB₁∥平面CA₁D₁；
（Ⅲ）求多面体A₁B₁D₁-CAD的体积．

Answer

（I）由已知得AA1⊥平面A1B1C1，从而得到侧面BCC1B1⊥平面A1B1C1，由此能够证明A1D1⊥平面BB1C1C．
（Ⅱ）由D1、D分别是棱B1C1、BC的中点，知B1D∥CD1，CD1∥平面AB1D．由此能够证明AB1∥平面CA1D1．
（Ⅲ）先求出三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1，三棱锥C-A1C1D1与三棱锥B1-ABD的体积均为V2，由多面体A1B1D1-CAD的体积V=V1-2V2，能求出结果．
（I）证明：由已知得AA1⊥平面A1B1C1，
∴侧面BCC1B1⊥平面A1B1C1，
又A1B1=A1C1，∴A1D1⊥B1C1．
∴A1D1⊥平面BB1C1C．…（4分）
（Ⅱ）证明：∵D1、D分别是棱B1C1、BC的中点，
∴B1D∥CD1，∴CD1∥平面AB1D．
又ADD1A1为矩形，∴A1D1∥AD，∴A1D1∥平面AB1D．
∵AD∩DB1=D，∴平面CA1D1∥平面ADB1．
又AB1⊂平面AB1D，∴AB1∥平面CA1D1．…（8分）
（Ⅲ）【解析】
在三棱柱ABC-A1B1C1中，
∵侧面ABB1A1，ACC1A1均为正方形，∠BAC=90°，AB=2，
点D1、D分别是棱B1C1、BC的中点．
∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积V1=×2×2×2=4，
三棱锥C-A1C1D1与三棱锥B1-ABD的体积均为V2=×××2=，
∴多面体A1B1D1-CAD的体积V=V1-2V2=4-2×=．…（12分）