Question

已知函数f （x）=-ax³+x²+（a-1）x-（x＞0），（a∈R）．
（Ⅰ）当0＜a＜时，讨论f （x）的单调性；
（Ⅱ）若f （x）在区间（a，a+1）上不具有单调性，求正实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）求出原函数的导函数，因式分解后根据a的范围判断导函数在（0，1）、（-1，+∞）、（1，-1）内的符号，从而得到原函数在这三个区间内的单调性；
（Ⅱ）f （x）在区间（a，a+1）上不具有单调性，等价于f （x）在区间（a，a+1）内至少有一个极值点．根据（Ⅰ）中求出的导函数，分a=、a≥1和0＜a＜1且三种情况讨论函数f （x）在区间（a，a+1）上的单调性及有极值时的a的范围．
【解析】
（Ⅰ） f （x）的定义域为（0，+∞）．
由f （x）=-ax3+x2+（a-1）x-（x＞0），
得：f'（x）=-ax2+x+a-1=-a（x-1）[x-（-1）]．
当0＜a＜时，-1＞1，
∴当x∈（0，1）时，f'（x）=-a（x-1）[x-（-1）]＜0，
当x∈（-1，+∞）时，f'（x）=-a（x-1）[x-（-1）]＜0，
当x∈（1，-1）时，f'（x）=-a（x-1）[x-（-1）]＞0．
∴f （x）=-ax3+x2+（a-1）x-在（0，1），（-1，+∞）递减；在（1，-1）递增；
（Ⅱ） f （x）在区间（a，a+1）上不具有单调性等价于f （x）在区间（a，a+1）内至少有一个极值点．
①当a=时，f′（x）=-（x-1）2≤0⇒f （x）在（0，+∞）上递减，不合题意； 
②当a≥1时，f′（x）=0的两根为x1=1，x2=-1，∵x1，x2∉（a，a+1），故不合题意；
③当0＜a＜1，且a≠时，f （x）在区间（a，a+1）上不具有单调性等价于：a＜1＜a+1或
解a＜1＜a+1得：0＜a＜1．
解得：．
∵0＜a＜1，且a≠，∴0＜a＜1，且a≠．
综上可知，所求a的取值范围是（0，）∪（，1）．