Question

记动点P是棱长为1的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的对角线BD₁上一点，记．当∠APC为钝角时，则λ的取值范围为（ ）
A．（0，1）
B．
C．
D．（1，3）

Answer

由∠APC不可能为平角，则∠APC为钝角等价于∠APC为钝角等价于•＜0，用关于λ的字母表示•＜0，根据向量数量积的坐标运算即可．
【解析】
由题设可知，以、、为单位正交基底，
建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，1）
由=（1，1，-1），得=λ=（λ，λ，-λ），
所以=+=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1），
=+=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）
因为∠APC不是平角，
所以∠APC为钝角等价于cos∠APC=cos＜，＞=＜0，
则等价于•＜0
即（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）2=（λ-1）（3λ-1）＜0，得＜λ＜1
因此，λ的取值范围是（，1）．
故选B．