Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB=2，∠BAD=60°．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=AB，求PB与AC所成角的余弦值；
（Ⅲ）当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．

Answer

（I）由已知条件可得ACBD，PABD，根据直线与平面垂直的判定定理可证
（II）结合已知条件，设AC与BD的交点为O，则OB⊥OC，故考虑分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系，
设PB与AC所成的角为θ，则，代入公式可求
（III）分别求平面PBC的法向量，平面PDC的法向量                          
由平面PBC⊥平面PDC可得从而可求t即PA
【解析】
（I）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，PA∩AC=A
所以BD⊥平面PAC
（II）设AC∩BD=O，因为∠BAD=60°，PA=AB=2，
所以BO=1，AO=OC=，
以O为坐标原点，分别以OB，OC，为x轴，以过O且垂直于平面ABCD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则
P（0，-，2），A（0，-，0），B（1，0，0），C（0，，0）

所以，
设PB与AC所成的角为θ，则cosθ=|
（III）由（II）知，设，
则
设平面PBC的法向量=（x，y，z）
则=0，
所以令，
平面PBC的法向量所以，
同理平面PDC的法向量，因为平面PBC⊥平面PDC，
所以=0，即-6+=0，解得t=，
所以PA=．