Question

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，．
（1）求点A到平面MBC的距离；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．

Answer

（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面MCD⊥平面BCD，则MO⊥平面BCD，故MO∥AB，A，B，O，M共面，延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，由此能求出点A到平面MBC的距离．
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A-EC-B的平面角，由此能求出平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值．
【解析】
（1）取CD的中点，连接OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，
又平面MCD⊥平面BCD，
则MO⊥平面BCD，
∴MO∥AB，A，B，O，M共面，
延长AM，BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所成的角，
OB=MO=，
MO∥AB，MO∥面ABC，
M，O到平面 ABC的距离相等，作OH⊥BC于H，
连接MH，则MH⊥BC，
∴OH=OC•sin60°=，MH=，
∵VA-MBC=VM-ABC，
∴d=．
（2）CE是平面ACM与平面BCD的交线，
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形，
作BF⊥EC于F，连接AF，∠AFB是二面角A-EC-B的平面角，设为θ，
∵∠BCE=120°，∴∠BCF=60°，
BF=BC•sin60°=，
tanθ=，sinθ=，
所以平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值为．