Question

△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，，若，则sinB+sinC的取值范围是（ ）
A．
B．（，]
C．[，1）
D．[，1）

Answer

利用向量的坐标运算结合余弦定理可求得角A，从而利用两角和的正弦与辅助角公式可求sinB+sinC的取值范围．
【解析】
∵=（a+b，c），=（b-a，c-b），⊥，
∴（a+b）（b-a）+c（c-b）=0，
∴a2=b2+c2-bc，
由余弦定理知，a2=b2+c2-2bccosA，
∴cosA=，而A为△ABC的内角，
∴A=．
∵△ABC中，A+B+C=π，
∴B+C=π-A=，
∴sinB+sinC
=sin（-C）+sinC
=cosC-（-）sinC+sinC
=sinC+cosC
=sin（C+）．
∵0＜C＜，故＜C+＜．
∴＜sin（C+）≤1．
∴＜sin（C+）≤．即＜sinB+sinC≤．
故选B．