Question

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（Ⅰ） 求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．

Answer

（Ⅰ）求出函数f（x）=lnx-ax（a∈R）的导数，令导数大于0求出函数的增区间，令导数小于0，求出函数的减区间
（Ⅱ）a＞0时，用导数研究函数f（x）在[1，2]上的单调性确定出最小值，借助（Ⅰ）的结论，由于参数的范围对函数的单调性有影响，故对其分类讨论，
【解析】
（Ⅰ）函数的定义域是（0，+∞）
∵f（x）=lnx-ax
∴f′（x）=-a
当a≤0时，f′（x）＞0，函数在定义域上是增函数；
当a＞0时，令导数为0解得x=，
当x＞时，导数为负，函数在（，+∞）上是减函数，
当x＜时，导数为正，函数在（0，）上是增函数
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结论知
当[1，2]⊆[，+∞）时，即a≥1时，函数函数f（x）在[1，2]上是减函数，故最小值为f（2）=ln2-2a
当[1，2]⊆（0，]时，即0＜a＜时，函数函数f（x）在[1，2]上是增函数，故最小值为f（1）=-a
当∈[1，2]时，函数f（x）在[1，]上是增函数，在[，2]上是减函数，故最小值为min{f（1），f（2）}