Question

已知函数f（x）=e^x（ax+1）（其中e为自然对数的底，a∈R为常数）．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）当a=1时，设g（x）=f（lnx）-x，求g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅲ）已知2＞x^m对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数m的取值范围．

Answer

（I）先求出函数f（x）的导函数f'（x），然后讨论a与0的大小关系，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函数f（x）的单调区间；
（II）当a=1时，g（x）=xlnx，利用其导数得g（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增，再对字母t进行分类讨论：①．当0＜t≤时，②．当t＞时，即可求出g（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（III）由于2＞xm＞0，两边取对数得ln2＞lnxm，从而有m＞，令y=，利用其导数研究它的单调性，即可求出实数m的取值范围．
【解析】
（I）f′（x）=ex[ax+（a+1）]…1
①．当a=0时，f′（x）=ex  在R上递增…2   
②．当a＞0时，（-∞，-）上递减，（-，+∞）递增…3
③．当a＜0时，（-∞，-）上递增，（-，+∞）递减…4
（II）g（x）=xlnx，g′（x）=1+lnx…5   
g（x）在（0，）上递减，在（，+∞）上递增…6
①．当0＜t≤时，t+2＞．gmin（x）=g（）=ln=-…7   
②．当t＞时，gmin（x）=g（t）=tlnt…8
（III）∵2＞xm＞0，所以ln2＞lnxm，得m＞…10  
令y=，y′=…11
在（0，）递增，在（，+∞）递减．
所以ymax=-eln2….12   
所以：m＞-eln2…..13