Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，一条准线l：x=2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设O为坐标原点，M是l上的点，F为椭圆C的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆D交于P，Q两点．
①若PQ=，求圆D的方程；
②若M是l上的动点，求证：点P在定圆上，并求该定圆的方程．

Answer

（1）由题意可知：，解方程可求a，c利用b2=a2-c2，可求b，即可求解椭圆C的方程
（2）①先设M（2，t），然后求出圆D的方程及直线PQ的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系及弦长公式及已知，可求t，进而可求
②设出P，由①知P满足圆D及直线PQ的方程，代入后消去参数t即可判断
【解析】
（1）由题意可知：，
∴a=，c=1，b2=a2-c2=1，
∴椭圆C的方程为：
（2）①由（1）知：F（1，0），设M（2，t），
则圆D的方程：，
直线PQ的方程：2x+ty-2=0，
∴，
∴
∴t2=4，t=±2
∴圆D的方程：（x-1）2+（y-1）2=2或（x-1）2+（y+1）2=2
②证明：设P（x1，y1），
由①知：，
即：
消去t得：=2
∴点P在定圆x2+y2=2上．