Question

已知一个口袋中装有n个红球（n≥1且n∈N₊）和2个白球，从中有放回连续摸三次，每次摸出2个球，若两个球颜色不同，则为中奖．
（1）当n=3时，设中奖次数为ζ，求ζ的分布列及期望；
（2）记三次摸球中，恰好两次中奖概率为P，当n为多少时，P有最大值．

Answer

（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p==，设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．分别求出P（ζ=0），P（ζ=1），P（ζ=2），P（ζ=3），由此能求出ζ的分布列和Eζ．
（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为P（ζ=2）=•p2•（1-p）=-3p3+3p2，0＜p＜1，由此利用导数性质能求出n为1或2时，P有最大值．
【解析】
（1）当n=3时，每次摸出两个球，中奖的概率p==，
设中奖次数为ζ，则ζ的可能取值为0，1，2，3．
P（ζ=0）==，
P（ζ=1）==，
P（ζ=2）==，
P（ζ=3）==．
∴ζ的分布列为：

 ζ  0  1  2  3
 P        

Eζ=0×+1×+2×+3×=．
（2）设每次摸奖中奖的概率为p，则三次摸球（每次摸球后放回）恰有两次中奖的概率为：
P（ζ=2）=•p2•（1-p）=-3p3+3p2，0＜p＜1，
p′=-9p2+6p=-3p（3p-2），
当p∈（0，）时，p′＞0；当p∈（，1）时，p′＜0．
∴在（0，）上，p为增函数；在（，1）上，p为减函数．
∴当p=时，p取得最大值，
∵p=，即n2-3n-2=0，解得n=1或n=2．
故n为1或2时，P有最大值．