Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_n是S_n与2的等差中项，数列{a_n}中，b₁=1，点P（b_n，b_n+1）在直线x-y+2=0上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}，{b_n}的通项公式a_n和b_n；
（Ⅱ） 设c_n=a_n•b_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（Ⅰ）先利用an是Sn与2的等差中项把1代入即可求a1，利用Sn=2an-2，再写一式，两式作差即可求数列{an}的通项；对于数列{bn}，直接利用点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，得数列{bn}是等差数列即可求通项；
（Ⅱ）先把所求结论代入求出数列{cn}的通项，再利用数列求和的错位相减法即可求出其各项的和．
【解析】
（Ⅰ）∵an是Sn与2的等差中项，
∴Sn=2an-2，①∴a1=S1=2a1-2，解得a1=2
n≥2时，Sn-1=2an-1-2，②
①-②可得：an=2an-2an-1，
∴an=2an-1（n≥2），即数列{an}是等比数列
∴an=2n，
∵点P（bn，bn+1）在直线x-y+2=0上，
∴bn-bn+1+2=0，
∴bn+1-bn=2，即数列{bn}是等差数列，又b1=1，
∴bn=2n-1；
（Ⅱ）∵cn=（2n-1）2n，
∴Tn=a1b1+a2b2+anbn=1×2+3×22+5×23+…+（2n-1）2n，
∴2Tn=1×22+3×23+…+（2n-3）2n+（2n-1）2n+1，
∴-Tn=1×2+（2×22+2×23+…+2×2n）-（2n-1）2n+1，
即：-Tn=1×2+（23+24+…+2n+1）-（2n-1）2n+1，
∴Tn=（2n-3）2n+1+6．