Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别是棱AA₁，BB₁的中点，求异面直线A₁F与D₁E所成角的余弦值．

Answer

连接A1C1、C1F、EF，利用正方体的性质证出四边形C1D1FE是平行四边形，可得D1E∥C1F，所以∠A1FC1（或其补角）是异面直线A1F与D1E所成角．再正方体棱长为2，在△A1FC1中，算出A1F、C1F、A1C1的长度，利用余弦定理算出cos∠A1FC1的值，即可得到异面直线A1F与D1E所成角的余弦值．
证明：连接A1C1、C1F、EF，
∵正方形AA1B1B中，E，F分别是棱AA1，BB1的中点，
∴A1B1∥EF且A1B1=EF
∵A1B1∥C1D1且A1B1=C1D1，
∴EF∥C1D1且EF=C1D1，可得四边形C1D1FE是平行四边形
因此，D1E∥C1F，
∴∠A1FC1（或其补角）就是异面直线A1F与D1E所成角
设正方体棱长为2，则△A1FC1中，A1F=C1F=，A1C1=2
由余弦之理，得cos∠A1FC1==＞0
∴∠A1FC1是锐角，可得异面直线A1F与D1E所成角的余弦值为．