Question

设，对任意x∈R，不等式a（cos²x-m）+πcosx≥0恒成立，则实数m的取值范围为    ．

Answer

根据定积分几何意义求出a值，根据任意x∈R，不等式a（cos2x-m）+πcosx≥0恒成立，利用常数分离法进行求解；
【解析】
∵，表示y=在[0，1]上的积分，也得圆面积的四分之一，
∴a=×π，
∴对任意x∈R，不等式（cos2x-m）+πcosx≥0恒成立，
可得m≤cos2x+4cosx在x∈R上恒成立，cosx∈[-1，1]，
求出cos2x+4cosx的最小值即可，cos2x+4cosx=（cosx+2）2-4，
∵函数开口向上，cosx∈[-1，1]，
函数f（cosx）=cos2x+4cosx在[-1，1]上增函数，当cosx=-1时取得最小值，可得（-1）2+4×（-1）=-3，
∴cos2x+4cosx的最小值为-3，
∴m≤-3，
故答案为（-∞，-3]；