Question

如图，已知正三角形PAD，正方形ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，E为PD的中点．
（1）求证：CD⊥AE；
（2）求证：AE⊥平面PCD；
（3）求直线AC与平面PCD所成的角的大小的正弦．．

Answer

（1）利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理即可证明；
（2）利用（1）的结论和正三角形的性质、线面垂直的判定定理即可证明；
（3）利用（2）的结论和线面角的定义即可知道∠ACE即为所求的线面角．
【解析】
（1）取AD的中点O，由正△PAD可得PO⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，∴PO⊥CD．
又∵CD⊥AD，PO∩AD=O，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥AE．
（2）由（1）可知：CD⊥AE．
∵E为正三角形PAD的边PD的中点，∴AE⊥PD．
∵CD∩PD=D，∴AE⊥平面PCD．
（3）由（2）可知：AE⊥平面PCD．
∴∠ACE即为直线AC与平面PCD所成的角．
不妨设AD=2．
则AE=，AC=2．
∴=．