Question

设f（x）是定义在R上的增函数，且对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立．如果实数m，n满足不等式f（m²-6m+21）+f（n²-8n）＜0，那么m²+n²的取值范围是    ．

Answer

根据对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立，不等式可化为f（m2-6m+21）＜f（-n2+8n），利用f（x）是定义在R上的增函数，可得（m-3）2+（n-4）2＜4，确定（m-3）2+（n-4）2=4内的点到原点距离的取值范围，利用m2+n2 表示（m-3）2+（n-4）2=4内的点到原点距离的平方，即可求得m2+n2 的取值范围．
【解析】
∵对于任意的x都有f（-x）+f（x）=0恒成立
∴f（-x）=-f（x）
∵f（m2-6m+21）+f（n2-8n）＜0，
∴f（m2-6m+21）＜-f（n2-8n）=f（-n2+8n），
∵f（x）是定义在R上的增函数，
∴m2-6m+21＜-n2+8n
∴（m-3）2+（n-4）2＜4
∵（m-3）2+（n-4）2=4的圆心坐标为：（3，4），半径为2
∴（m-3）2+（n-4）2=4内的点到原点距离的取值范围为（5-2，5+2），即（3，7）
∵m2+n2 表示（m-3）2+（n-4）2=4内的点到原点距离的平方
∴m2+n2 的取值范围是（9，49）．
故答案为：（9，49）