Question

如图棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是菱形，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD；
（Ⅰ）求证：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）设AB=a，∠BAC=30°，四边形AA₁C₁C的面积为3a2，求棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积、

Answer

（I）由已知中棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，平面AA1C1C⊥平面ABCD，我们根据菱形的性质及面面垂直的性质定理，易得BD⊥平面AA1C1C，再由线面垂直的性质，即可得到BD⊥AA1；
（Ⅱ）由已知中AB=a，∠BAC=30°，四边形AA1C1C的面积为3a2，我们可计算出棱柱底面ABCD的面积及高AA1的长度，然后代入棱柱体积公式，即可得到答案．
证明：（Ⅰ）∵棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，
∴AC⊥BD，
又∵平面AA1C1C⊥平面ABCD
∴BD⊥平面AA1C1C
又由AA1⊂平面AA1C1C
∴BD⊥AA1；
（Ⅱ）∵AB=a，∠BAC=30°，
则AC=，BD=a
∴SABCD=2×AB•AD•sin∠A=
又四边形AA1C1C的面积为3a2，
∴AA1=，
∴V=AA1•SABCD=