Question

已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax²+1．
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x₁，x₂∈（0，+∞），|f（x₁）-f（x₂）|≥4|x₁-x₂|．

Answer

（1）先求出函数的定义域，然后对函数f（x）进行求导，根据导函数大于0时原函数单调递增、导函数小于0时原函数单调递减对a分3种情况进行讨论．
（2）先根据a的范围对函数f（x）的单调性进行判断，然后根据单调性去绝对值，将问题转化为证明函数g（x）=f（x）+4x的单调性问题．
【解析】
（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），．
当a≥0时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调增加；
当a≤-1时，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调减少；
当-1＜a＜0时，令f′（x）=0，解得x=．当x∈（0，）时，f′（x）＞0；
x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，）单调增加，在（，+∞）单调减少．
（Ⅱ）不妨假设x1≤x2．由于a≤-2，故f（x）在（0，+∞）单调递减．
所以|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|等价于f（x1）-f（x2）≥4x2-4x1，
即f（x2）+4x2≤f（x1）+4x1．
令g（x）=f（x）+4x，则+4=．
于是g′（x）≤=≤0．
从而g（x）在（0，+∞）单调减少，故g（x1）≥g（x2），
即f（x1）+4x1≥f（x2）+4x2，故对任意x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）-f（x2）|≥4|x1-x2|．