Question

已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）．
（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化写为直角坐标系方程；
（Ⅱ）若圆C上有且仅有三个点到直线l距离为，求实数a的值．

Answer

（Ⅰ）利用极坐标系与直角坐标系的互化公式即可得出；
（Ⅱ）要满足条件“圆C上有且仅有三个点到直线l距离为”，当圆心C到直线l的距离为时即可．
【解析】
（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为ρ=4cos（θ+）展开得ρ=4cosθ-4sinθ，变为ρ2=4ρcosθ-4ρsinθ，
化为直角坐标系方程x2+y2=4x-4y，
∴圆C的直角坐标系方程为x2+y2=4x-4y；
（Ⅱ）直线l的参数方程是（t为参数），
消去参数化为y=2x+a．
由（1）可知：圆C的方程为（x-2）2+（y+2）2=8，
∴圆心C（2，-2），半径r=．
如图所示：
∵圆C上有且仅有三个点到直线l距离为，半径r=．
∴当圆心C到直线l的距离为时，与直线l平行的直径与圆的两个交点满足条件，另外与直线l平行且与圆相切的切线的切点也满足条件，因此圆C上共有三个点到直线l的距离等于．
∴=，解得．
∴实数a的值为．