Question

如图，几何体A₁C₁-ABC中，四边形AA₁C₁C为平行四边形，且面AA₁C₁C⊥面ABCAA₁=A₁C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中点．
（Ⅰ）证明：A₁O⊥平面ABC；
（Ⅱ）求直线BC₁与底面ABC所成角的正弦值．

Answer

（1）由AA1=A1C=AC，知△AA1C是等边三角形，由O是AC中点，知A1O⊥AC，由此能够证明A1O⊥面ABC．
（2）作C1E⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BE，则C1E∥A1O，从而得到C1E⊥面ABC，∠C1BE就是直线BC1与底面ABC所成角．由此能求出直线BC1与底面ABC所成角的正弦值．
（1）证明：∵AA1=A1C=AC，∴△AA1C是等边三角形，
∵O是AC中点，∴A1O⊥AC，
∵AC是面AA1C1C和面ABC的交线，且面AA1C1C⊥面ABC，
又∵A1O⊂面AA1C1C，
∴A1O⊥面ABC．
（2）【解析】
作C1E⊥AC，交AC的延长线于点E，连接BE，
则C1E∥A1O，∴C1E⊥面ABC，
∴∠C1BE就是直线BC1与底面ABC所成角．
∵四边形AA1C1C为平行四边形，且面AA1C1C⊥面ABC，
AA1=A1C=AC=2，AB=BC，AB⊥BC，O是AC中点．
∴C1E=A1O=，AB=BC=，
∴C1O==，BO=1，
∴BC1==2，
∴sin∠C1BE===．