Question

设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）是函数图象上任意两点，且x₁+x₂=1．
（Ⅰ）求y₁+y₂的值；
（Ⅱ）若（其中n∈N^*），求T_n；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，设（n∈N^*），若不等式a_n+a_n+1+a_n+2+…+a_2n-1＞对任意的正整数n恒成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）在x1+x2=1的条件下，代入表达式化简即可求得y1+y2的值；
（Ⅱ）用（Ⅰ）结论易求2Tn的值，从而得到Tn的值；
（Ⅲ）由（Ⅱ）可把不等式表示出来，不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞对任意的正整数n恒成立，该问题可转化关于n的函数的最值问题，构造函数，借助函数单调性易求最值，从而问题得以解决；
【解析】
（Ⅰ）y1+y2=
==
==2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当x1+x2=1时，y1+y2=2，
由①，得②，
①+②得，，
∴Tn=n+1．
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，
不等式an+an+1+an+2+…+a2n-1＞即为，
设Hn=，则 Hn+1=，
∴，
∴数列{Hn}是单调递增数列，∴（Hn）min=T1=1，
要使不等式恒成立，只需，即，
∴或，解得．
故使不等式对于任意正整数n恒成立的a的取值范围是．