Question

已知函数f（x）=ax²+ln（x+1）．
（Ⅰ）当时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，求实数a的取值范围．
（Ⅲ）求证：（其中n∈N^*，e是自然对数的底数）．

Answer

（Ⅰ）把a=-代入函数f（x），再对其进行求导利用导数研究函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）已知当x∈[0，+∞）时，函数y=f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，将问题转化为当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，只要求出ax2+ln（x+1）-x的最小值即可，令新的函数，利用导数研究其最值问题；
（Ⅲ）由题设（Ⅱ）可知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立，利用此不等式对所要证明的不等式进行放缩，从而进行证明；
【解析】
（Ⅰ）当时，（x＞-1），
（x＞-1），
由f'（x）＞0解得-1＜x＜1，由f'（x）＜0，
解得x＞1．
故函数f（x）的单调递增区间为（-1，1），单调递减区间为（1，+∞）．（4分）
（Ⅱ）因函数f（x）图象上的点都在所表示的平面区域内，
则当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，即ax2+ln（x+1）-x≤0恒成立，
设g（x）=ax2+ln（x+1）-x（x≥0），
只需g（x）max≤0即可．（5分）
由=，
（ⅰ）当a=0时，，当x＞0时，g'（x）＜0，函数g（x）在（0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．（6分）
（ⅱ）当a＞0时，由，因x∈[0，+∞），所以，
①若，即时，在区间（0，+∞）上，g'（x）＞0，
则函数g（x）在（0，+∞）上单调递增，g（x）在[0，+∞）上无最大值（或：当x→+∞时，g（x）→+∞），此时不满足条件；
②若，即时，函数g（x）在上单调递减，在区间上单调递增，
同样g（x）在[0，+∞）上无最大值，不满足条件．（8分）
（ⅲ）当a＜0时，由，
∵x∈[0，+∞），
∴2ax+（2a-1）＜0，
∴g'（x）＜0，故函数g（x）在[0，+∞）上单调递减，
故g（x）≤g（0）=0成立．
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，0]．（10分）
（Ⅲ）据（Ⅱ）知当a=0时，ln（x+1）≤x在[0，+∞）上恒成立
（或另证ln（x+1）≤x在区间（-1，+∞）上恒成立），（11分）
又，
∵
=
=
=，
∴．（14分）