Question

已知函数f（x）=4-（x＞0），
（Ⅰ）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）若f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），求m、n的值．

Answer

（Ⅰ）直接利用函数单调性的定义证明；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）中证出的函数在（0，+∞）上是增函数，结合f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），列方程组求解m和n的值．
（Ⅰ）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
则
=．
∵x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，
∴x1-x2＜0，x1x2＞0，
则＜0．
即f（x1）＜f（x2）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（Ⅱ）∵f（x）在（0，+∞）上是增函数，
又f（x）在[m，n]上的值域是[m，n]（0＜m＜n），
∴，
解得：．
∴，．