Question

已知：f（x）=为奇函数，
（Ⅰ）求函数的定义域；
（Ⅱ）求a的值；
（Ⅲ）求函数值域．

Answer

（Ⅰ）由分式函数的分母不等于0求解x的取值集合得原函数的定义域；
（Ⅱ）利用奇函数的概念，由f（-x）+f（x）=0恒成立列式求a的值；
（Ⅲ）把（Ⅱ）中求得的a的值代入函数解析式，然后化简整理，把2x用含有y的代数式表示，由2x＞0，求解关于y的分式不等式，最后得到原函数的值域．
【解析】
（Ⅰ）要使原函数有意义，则2x-1≠0，解得：x≠0，所以，原函数的定义域为{x|x≠0}；
（Ⅱ）因为f（x）=为奇函数，
所以有f（-x）+f（x）=0恒成立，即恒成立，
整理得：，
（a+1）•2x-a+a•2x-1-a=0，
也就是（2a+1）•（2x-1）=0恒成立，
则．
（Ⅲ）把代入原函数得，，
由，得2y-2y•2x=1+2x，
即2x（2y+1）=2y-1，则，
由，得：，或．
所以，函数的值域为（-∞，-）∪（，+∞）．