Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点．
（Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
（Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积．

Answer

解法一：（Ⅰ）先根据条件得到CD⊥AE；再结合PA⊥平面ABCD即可得到结论的证明；
（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA=BF，进而得到四边形BCDG是平行四边形，在下底面内求出BF的长以及下底面的面积，最后代入体积计算公式即可．
法二：（Ⅰ）先建立空间直角坐标系，求出各点的坐标，进而得到=0以及•=0．即可证明结论；
（Ⅱ）先根据直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等得到PA的长，再求出下底面面积，最后代入体积计算公式即可．
解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中点，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）过点B作BG∥CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=，sin∠BPF=，所以PA=BF．
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD∥BC，又BG∥CD．
所以四边形BCDG是平行四边形，
故GD=BC=3，于是AG=2．
在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，
所以BG==2，BF===．
于是PA=BF=．
又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．

解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．
（Ⅰ）=（-4，2，0），=（2，4，0），=（0，0，h）．
因为=-8+8+0=0，•=0．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）由题设和第一问知，，分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，
所以：|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，即||=||．
由第一问知=（-4，2，0），=（（0，0，-h），又=（4，0，-h）．
故||=||．
解得h=．
又梯形ABCD的面积为S=×（5+3）×4=16．
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=×S×PA=×16×=．