Question

已知椭圆的两焦点为F₁（-，0），F₂（，0），离心率e=．
（Ⅰ）求此椭圆的方程．
（Ⅱ）设直线y=与椭圆交于P，Q两点，且|PQ|的长等于椭圆的短轴长，求m的值．
（Ⅲ）若直线y=与此椭圆交于M，N两点，求线段MN的中点P的轨迹方程．

Answer

（I）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为F1（-，0），F2（，0），离心率e=．求出a，b即可得到椭圆的方程．
（II）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；
（III）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y），则x+4y=4，x+4y=4，利用设而不求的方法结合中点坐标公式即可求出线段MN的中点P的轨迹方程．
【解析】
（I）设椭圆方程为（a＞b＞0），则c=，=，（4分）
∴a=2，b=1，所求椭圆方程．（5分）
（II）由，消去y，得x2+2mx+2（m2-1）=0，…（6分）
则△=4m2-8（m2-1）＞0得m2＜2（*）
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=-2m，x1x2=2m2-2，y1-y2=（x1-x2）…（7分）
|PQ|====•=2…（9分）
解得，m=，满足（*）
∴m=．…（10分）
（III）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为P（x，y），
则x+4y=4，x+4y=4，又x1+x2=2x，y1+y2=2y，，
∴x+2y=1，因P在椭圆的内部，可求得-＜x＜，
∴线段MN的中点P的轨迹方程为x+2y=1，（-＜x＜）．