Question

在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且满足4cos²-cos2（B+C）=，
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若b+c=3，求a的最小值．

Answer

（Ⅰ）由三角形的内角和定理得到B+C=π-A，代入已知的等式中，再利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，得到关于cosA的方程，求出方程的解得到cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（Ⅱ）由余弦定理表示出cosA，把cosA的值代入得到一个关系式，变形后将b+c的值代入，利用基本不等式即可求出a的最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵A+B+C=π，即B+C=π-A，
∴4cos2-cos2（B+C）=2（1+cosA）-cos2A=-2cos2A+2cosA+3=，
∴2cos2A-2cosA+=0，
∴cosA=，
又0＜A＜π，
∴A=60°；
（Ⅱ）由余弦定理cosA=得：bc=b2+c2-a2，
∴a2=（b+c）2-3bc=9-3bc≥9-3（）2=，
∴a≥，
则a的最小值为，当且仅当b=c=时取等号．