Question

如图，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱锥C-A₁B₁C₁的体积V；
（Ⅱ）求直线BD₁与平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一点P，使得=λ，
当二面角A-B₁C₁-P的大小为30°时，求实数λ的值．

Answer

（I）点C到面A1B1C1的距离即为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高A1D的长，求出三棱锥C-A1B1C1的底面积及高，代入三棱锥体积公式即可得到三棱锥C-A1B1C1的体积V；
（Ⅱ）以点D为坐标原点，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出直线BD1的方向向量及平面ADB1的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线BD1与平面ADB1所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面B1C1P的法向量，结合（2）中平面ADB1的法向量，及已知中二面角A-B1C1-P的大小为30°，代入向量夹角公式，可以构造一个关于实数λ的方程，解方程，即可求出实数λ的值．
【解析】
（I）在Rt△A1AD中，∠A1AD=90°，A1A=2，AD=1，∴．（1分）
注意到点C到面A1B1C1的距离即为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的高A1D的长，
所以．（3分）
（II）以点D为坐标原点，建立如图空间直角坐标系O-xyz，
则，，（5分）∴，
设平面ADB1的法向量，
由得平面ADB1的一个法向量为，（7分）
记直线BD1与平面ADB1所成的角为α，则，
所以直线BD1与平面ADB1所成角的正弦值为．（8分）
（III）∵，∴，
又，
设平面B1C1P的法向量，
由得平面B1C1P的一个法向量为，（10分）
则，
注意到λ＞0，解得λ=2为所求．（12分）