Question

在如图所示的正方体A₁B₁C₁D₁ABCD中，E是C₁D₁的中点，则异面直线DE与AC夹角的余弦值为（ ）

A．-
B．-
C．
D．

Answer

取A1D1中点，连接EF、DF、A1C1，用三角形的中位线和平行线的传递性，证出EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角．然后在△DEF中求出各边的长，再利用余弦定理即可算出异面直线DE与AC夹角的余弦值．
【解析】
取A1D1中点，连接EF、DF、A1C1，
∵正方形ABCD-A1B1C1D1中，A1A∥C1C且A1A=C1C
∴四边形AA1C1C是平行四边形，可得A1C1∥AC
又∵△A1C1D1中，EF是中位线
∴EF∥A1C1，且EF=A1C1．
由此可得EF∥AC，得∠DEF（或其补角）就是异面直线DE与AC所成的角
设正方体的棱长为a，则△DEF中
DF=DE==a，EF=A1C1=a
由余弦定理，得cos∠DEF==＞0
可得∠DEF是锐角，因此∠DEF是异面直线DE与AC所成的角，余弦值为
故选：D