Question

已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的差等于1．
（Ⅰ）求动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l₁，l₂，设l₁与轨迹C相交于点A，B，l₂与轨迹C相交于点D，E，求的最小值．

Answer

（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），根据两点间距离公式和点到直线的距离公式，列方程，并化解即可求得动点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设出直线l1的方程，理想直线和抛物线的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理，求出两根之和和两根之积，同理可求出直线l2的方程与抛物线的交点坐标，代入利用基本不等式求最值，即可求得其的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设动点P的坐标为（x，y），由题意得，
化简得y2=2x+2|x|．
当x≥0时，y2=4x；当x＜0时，y=0，
所以动点P的轨迹C的方程为y2=4x（x≥0）和y=0（x＜0）．
（Ⅱ）由题意知，直线l1的斜率存在且不为零，设为k，则l1的方程为y=k（x-1）．
由，得k2x2-（2k2+4）x+k2=0．
设A，B的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1+x2=2+，x1x2=1．
∵l1⊥l2，∴直线l2的斜率为-．
设D（x3，y3），E（x4，y4），则同理可得x3+x4=2+4k2，x3x4=1．
故==
==（x1+1）（x2+1）+（x3+1）（x4+1）
=x1x2+（x1+x2）+1+x3x4+x3+x4+1
1+2++1+1+2+4k2+1=8+4（k2+）≥8+4×2=16，
当且仅当k2=，即k=±1时，的最小值为16．