Question

四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，其三视图如图
（1）根据图中的信息，在四棱锥P-ABCD的侧面、底面和棱中，请把符合要求的结论填写在空格处（每空只要求填一种）
①一对互相垂直的异面直线______；
②一对互相垂直的平面______；
③一对互相垂直的直线和平面______；
（2）计算四棱锥P-ABCD的表面积．

Answer

（1）由四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，我们易得PA是棱锥的高，由此作出这个四棱锥的图形，能求出结果．
（2）由三视图我们易得底面边长，及棱锥的高均为a，由此我们易求出各棱的长，进而求出各个面的面积，进而求出四棱锥P-ABCD的表面积．
【解析】
（1）∵四棱锥P-ABCD的顶点P在底面ABCD中的投影恰好是A，
∴PA是棱锥的高，由此作出四棱锥，
由图形知：①PA⊥BC，或PA⊥CD；
②平面PAD⊥平面ABCD，或平面PAD⊥平面ABCD；
③PA⊥平面ABCD，或AB⊥平面PAD．
故答案为：①PA⊥BC，或PA⊥CD；②平面PAD⊥平面ABCD，或平面PAD⊥平面ABCD；③PA⊥平面ABCD，或AB⊥平面PAD．
（2）由三视图可得，三角形ABP的面积等于三角形ADP的面积且为a2，
三角形BPC的面积等于三角形CDP的面积且为a2，
正方形ABCD的面积为a2，
侧面积为：S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD=2××a2+2××a×a=（1+）a2
所以可得四棱锥P-ABCD的表面积为（2+）a2．