Question

以下四个命题
（1）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=acosB，则
（2）设是两个非零向量且|=||||，则存在实数λ，使得；
（3）方程sinx-x=0在实数范围内的解有且仅有一个；
（4）a，b∈R且a³-3b＞b³-3a则a＞b；
其中正确的个数有（ ）
A．1个
B．2个
C．3
D．4个

Answer

①由正弦定理和bsinA=acosB知，sinB=cosB，可得角B的值；
②由于||=||||，可以得到两向量共线；
③由于函数在定义域上单调递增，得到x-sinx=0至多有一个解，
又知x=0 时，上式成立，得到方程只有这一个解；
④由不等式的性质，即可得到．
【解析】
①由正弦定理知，，即bsinA=asinB，
又由bsinA=acosB知，∴sinB=cosB，则，故①正确；
②由于||=||||，则cosθ=±1，
所以两向量，共线，则存在实数λ，使得，故②正确；
③令f（x）=sinx-x，则f′（x）=1-cosx≥0恒成立，
所以x-sinx=0至多有一个解，
因为x=0 时，x-sinx=0，所以只有这一个解，故③正确；
④由于a3-3b＞b3-3a，则a3-b3+3a-3b＞0，
整理得（a-b）（a2+ab+b2+3）＞0，即，所以a＞b，
由于a＞b，则a2+3＞b2+3，故a（a2+3）＞b（b2+3），整理得a3-3b＞b3-3a，故④正确．