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如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,...

如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,以AE为折痕将△ADE向上折起,使D到P点位置,且PC=PB.
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(Ⅰ)求证:PO⊥面ABCE;
(Ⅱ)求二面角E-AP-B的余弦值.
(I)由已知中AB=4,AD=2,E是CD的中点,O为AE的中点,D到折起到P点位置,且PC=PB,取BC的中点F,连OF,PF,结合等腰三角形三线合一的性质,我们易得到BC⊥面POF,PO⊥AE,进而根据线面垂直的判定定理得到答案. (II)以O点为坐标原点,建立空间直角坐标系,分别求出平面EAP和平面BAP的法向量,然后利用向量法易求出二面角E-AP-B的余弦值. 【解析】 (I)PA=PE,OA=OE∴PO⊥AE(1分) 取BC的中点F,连OF,PF,∴OF∥AB,∴OF⊥BC因为 PB=PC∴BC⊥PF,所以BC⊥面POF(3分) 从而BC⊥PO(5分), 又BC与PO相交,可得PO⊥面ABCE(6分) (II)作OG∥BC交AB于G,∴OG⊥OF如图,建立直角坐标系, A(1,-1,0),B(1,3,0),C(-1,3,0), P(0,0,)(7分) 设平面PAB的法向量为, 同理平面PAE的法向量为,(10分) 二面角E-AP-B的余弦值为(12分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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