Question

设a∈R，函数f（x）=（ax²+a+1），其中e是自然对数的底数．
（1）判断f（x）在R上的单调性；
（2）当-1＜a＜0时，求f（x）在[1，2]上的最小值．

Answer

（1）对函数f（x）进行求导然后整理成f′（x）=e-x（-ax2+2ax-a-1）的形式，因为e-x＞0，根据导函数大于0原函数单调递增，导函数小于0原函数单调递减通过讨论函数g（x）=-ax2+2ax-a-1值的情况来确定原函数的单调性．
（2）先根据a的范围确定导函数等于0的两根的范围，进而可判断函数在区间[1，2]上的单调性，最后可得到最小值．
【解析】
（1）由已知f′（x）=-e-x（ax2+a+1）+e-x•2ax
=e-x（-ax2+2ax-a-1）．
因为e-x＞0，以下讨论函数g（x）=-ax2+2ax-a-1值的情况：
当a=0时，g（x）=-1＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．
当a＞0时，g（x）=0的判别式△=4a2-4（a2+a）=-4a＜0，所以g（x）＜0，
即f′（x）＜0，所以f（x）在R上是减函数．
当a＜0时，g（x）=0有两个根x1，2=，并且＜，
所以在区间（-∞，）上，g（x）＞0，即f'（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数；
在区间（，）上，g（x）＜0，即f′（x）＜0，f（x）在此区间上是减函数．
在区间（，+∞）上，g（x）＞0，即f′（x）＞0，f（x）在此区间上是增函数．
综上，当a≥0时，f（x）在R上是减函数；
当a＜0时，f（x）在（-∞，）上单调递增，在（，）上单调递减，
在（，+∞）上单调递增．
（2）当-1＜a＜0时，=1+＜1，=1+＞2，
所以在区间[1，2]上，函数f（x）单调递减．
所以函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为f（2）=．