Question

如图，已知平面α∩β=l，A、B是l上的两个点，C、D在平面β内，且DA⊥α，CB⊥α，AD=4，AB=6，BC=8，在平面α上有一个动点P，使得∠APD=∠BPC，则△PAB面积的最大值是（ ）

A．
B．
C．12
D．24

Answer

本题在二面角背景下求三角形的面积，需要借助直二面角的相关知识研究三角形的几何特征，再由面积公式求出面积，由题设条件知两个直角三角形△PAD与△PBC是相似的直角三角形，根据题设条件可得出PB=2PA，作PD⊥AB，垂足为D，令AD=t，将三角形的面积用t表示出来，再研究面积的最值选出正确选项．
【解析】
由题意平面α⊥平面β，A、B是平面α与平面β的交线上的两个定点，DA⊂β，CB⊂β，且DA⊥α，CB⊥α，
∴△PAD与△PBC是直角三角形，又∠APD=∠BPC，∴△PAD∽△PBC，又AD=4，BC=8，∴PB=2PA．
作PM⊥AB，垂足为M，则PM⊥β，令AM=t∈R，在两个Rt△PAM与Rt△PBM中，AM是公共边及PB=2PA，∴PA2-t2=4PA2-（6-t）2 ，解得PA2=12-4t．
∴PM=，即此四棱锥的高等于．
∴S=×AB×PM=×6×=3≤12．
即三角形面积的最大值为12，
故选C．