Question

一个四棱锥的三视图如图所示．

（1）求这个四棱锥的全面积及体积；
（2）求证：PA⊥BD；
（3）在线段PD上是否存在一点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由已知可得该多面体的底面棱长及侧高，代入面积公式可得其表面积；再计算出棱锥的高后，代入体积公式可得答案．
（2）由三视图，可知四棱锥的底面是正方形，侧面是全等的等腰三角形，所以该四棱锥是一个正四棱锥．作出它的直观图，根据线面垂直的判定与性质，可证出PA⊥BD；
（3）假设存在点Q，使二面角Q-AC-D的平面角为30°，由AC⊥平面PBD可得∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角，可证出在Rt△PDO中，OQ⊥PD，且∠PDO=60°，结合三角函数的计算可得=．
【解析】
（1）由已知的三视图可得该棱锥的底面棱长为2，侧面高为
则棱锥的底面积S底=2×2=4，侧面积S侧=4××2=4
∴棱锥的表面积
又∵棱锥的高h==
∴棱锥的体积V=•S底•h==
证明：（2）连接BD，AC交点为O，连接PO
则O为正四棱锥在底面ABCD上的投影
∴PO⊥底面ABCD
∴PO⊥BD
又∵棱锥的底面ABCD为正方形
∴AC⊥BD
又∵PO∩AC=0
∴BD⊥平面PAC，
又∵PA⊂平面PAC，
∴PA⊥BD；
【解析】
（3）由三视图可知，BC=2，PA=2，假设存在这样的D点
因为AC⊥OQ，AC⊥OD，
所以∠DOQ为二面角Q-AC-D的平面角
△PDO中，PD=2，OD=，则∠PDO=60°，
△DQO中，∠PDO=60°，且∠QOD=30°．
所以DP⊥OQ，所以OD=，QD=
=