Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．AB=2，PA=PD=3；
（1）求异面直线DC与PB所成的角的余弦值；
（2）求直线PB和平面ABCD所成角的正弦值．
（3）求二面角P-AB-C的余弦值．

Answer

（1）以M点为坐标原点，建立空间坐标系，分别求出异面直线DC与PB的方向向量，代入向量夹角公式，可得答案；
（2）分别直线PB的方向向量和平面ABCD的法向量，代入向量夹角公式，可得答案；
（3）分别求出平面PAB和平面ABC的法向量，代入向量夹角公式，可得二面角P-AB-C的余弦值．
【解析】
取AD，BC的中点M，N，连接PM，MN，
∵PA=PD，
∴PM⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面AC
∴PM⊥平面AC
又∵MN⊂平面AC
∴PM⊥MN，
又∵MN⊥AD
故以M点为原点建立如图所示的坐标系，由AB=2，PA=PD=3得：
M（0，0，0），A（0，1，0），B（2，1，0），C（2，-1，0），D（0，-1，0），P（0，0，2）
（1）直线PB的方向向量为=（2，1，2），直线DC的方向向量为=（2，0，0）
设直线PB与直线DC所成的角为θ，则
cosθ===
所以，异面直线DC与PB所成的角的余弦值为
（2）由PM⊥平面AC，故平面AC的一个法向量为=（0，0，2），直线PB的方向向量为=（2，1，2），
设直线PB和平面ABCD所成角为α
则sinα===
所以，直线PB和平面ABCD所成角的正弦值为
（3）设平面PAB的一个法向量为=（x，y，1）则
⊥，⊥，且=（2，0，0），=（2，1，2），
故，即
解得：x=0，y=2
∴=（0，2，1）
设二面角P-AB-C的平面角为β，
则cosβ==
故二面角P-AB-C的余弦值为